MatemáticaProgressões Aritméticas e Geométricas (PA e PG)Difícil

Questão de Progressões Aritméticas e Geométricas (PA e PG) — ENEM

Uma pessoa investiu R$ 1.000 em uma aplicação financeira com rendimento de 20% ao ano, com os juros incorporados ao capital ao final de cada período — o que caracteriza juros compostos e uma progressão geométrica de razão 1,2. O gráfico de barras adjunto exibe a evolução do capital nos primeiros cinco anos de investimento. Uma linha de referência tracejada indica o nível de R$ 2.000. O investidor quer saber ao término de quantos anos completos o capital supera R$ 2.000 pela primeira vez, para planejar o resgate antecipado.
A2 anos
B3 anos
C4 anos
D5 anos
E6 anos

Gabarito comentado

Juros compostos formam uma progressão geométrica: o capital é multiplicado pela mesma razão (1 + taxa) a cada período. Para encontrar o menor n tal que Pₙ > valor-alvo, calcula-se o termo da PG para n = 1, 2, 3, ... até ultrapassar o alvo. A equação Pₙ = 2.000 pode ser resolvida com logaritmo: n = log(2)/log(1,2) ≈ 3,8, confirmando que o primeiro inteiro que supera é n = 4.

Resolução passo a passo

Em juros compostos com taxa 20% a.a., o capital ao final do ano n é uma PG com primeiro termo P₀ = 1.000 e razão q = 1,2: Pₙ = 1.000 × 1,2ⁿ. Calculando: P₁ = 1.200; P₂ = 1.440; P₃ = 1.728; P₄ = 2.073,60. O capital supera R$ 2.000 pela primeira vez ao término do 4° ano, pois P₃ = 1.728 ainda está abaixo e P₄ = 2.073,60 já ultrapassa o dobro. A alternativa 2 anos (P₂ = 1.440) e 3 anos (P₃ = 1.728) são insuficientes; 5 e 6 anos também superam, mas não são o primeiro momento. Apenas 4 anos é o menor n tal que Pₙ > 2.000.

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