MatemáticaAnálise CombinatóriaDifícil

Questão de Análise Combinatória — ENEM

Um grêmio estudantil precisa escolher 3 membros entre 10 voluntários para compor uma comissão de trabalho para um projeto escolar. Os três escolhidos exercerão exatamente a mesma função, sem qualquer hierarquia ou cargo diferenciado entre eles. De quantas maneiras diferentes essa comissão pode ser formada?
A30 maneiras
B120 maneiras
C210 maneiras
D720 maneiras
E1.000 maneiras

Gabarito comentado

Para escolher um grupo sem cargos distintos, usa-se combinação: calcula-se o arranjo e divide-se pelo fatorial do número de escolhidos, eliminando as ordens repetidas. Reconhecer que 'papéis iguais' significa ordem irrelevante evita inflar a contagem.

Resolução passo a passo

Como os três membros têm o mesmo papel, a ordem não importa, então usamos combinação de 10 elementos tomados 3 a 3. A combinação é o arranjo dividido pelo fatorial das posições: o arranjo é 10 vezes 9 vezes 8, igual a 720, e dividimos por 3 fatorial, que é 6. Assim, 720 ÷ 6 igual a 120 maneiras. Dividimos por 6 porque cada grupo de três pessoas pode ser ordenado de 3 fatorial maneiras, todas equivalentes. A alternativa 720 é o arranjo (ordem importando); 30, 210 e 1.000 não correspondem. Apenas 120 maneiras é o número de comissões possíveis.

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