MatemáticaAnálise CombinatóriaDifícil

Questão de Análise Combinatória — ENEM

Uma pesquisa registrou os dados de 4 amigos que vão se sentar em 4 cadeiras alinhadas para assistir a uma palestra na escola. Há uma condição: dois deles, que são muito próximos, querem ficar sempre juntos, um ao lado do outro, em qualquer das posições da fila. A equipe quer saber de quantas maneiras diferentes os 4 podem se sentar respeitando essa condição, tratando o par que fica junto como um único bloco que pode se organizar internamente. Considerando os 4 amigos com essa restrição, de quantas maneiras eles podem se sentar com os dois sempre juntos?
A6 maneiras
B8 maneiras
C12 maneiras
D16 maneiras
E24 maneiras

Gabarito comentado

A técnica do bloco resolve restrições de 'ficar junto': agrupam-se os elementos que devem permanecer unidos como um só, permutam-se os blocos e multiplica-se pelas ordens internas de cada bloco. Isso reduz o problema a permutações usuais.

Resolução passo a passo

Para que os dois amigos fiquem sempre juntos, tratamo-los como um único bloco. Assim, em vez de 4 elementos, temos 3 elementos para ordenar na fila: o bloco e os outros 2 amigos. As permutações desses 3 elementos são 3 fatorial, igual a 6. Além disso, dentro do bloco, os dois amigos podem trocar de lugar entre si de 2 fatorial maneiras, ou seja, 2. Pelo princípio multiplicativo, o total é 6 vezes 2, igual a 12 maneiras. A alternativa 24 ignora a restrição (seria 4 fatorial); 6 esquece a ordem interna; 8 e 16 não correspondem. Apenas 12 maneiras respeita os dois sempre juntos.

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