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Questão de Análise Combinatória — ENEM

Em uma atividade de análise linguística e matemática, a turma investigou os anagramas da palavra ARARA. Observaram que essa palavra tem 5 letras, com a letra A aparecendo 3 vezes e a letra R aparecendo 2 vezes. A questão proposta é: quantos anagramas distintos podem ser formados com as letras de ARARA?
A10 anagramas
B20 anagramas
C30 anagramas
D60 anagramas
E120 anagramas

Gabarito comentado

Quando há letras repetidas, permutar letras iguais não cria palavras novas, então divide-se n fatorial pelos fatoriais das quantidades repetidas. Essa correção evita contar várias vezes a mesma sequência de letras como se fosse diferente.

Resolução passo a passo

Com letras repetidas, o número de anagramas é a permutação total dividida pelos fatoriais das repetições. A palavra ARARA tem 5 letras, então a permutação total seria 5 fatorial, igual a 120. Como a letra A se repete 3 vezes e a R se repete 2 vezes, dividimos por 3 fatorial (que é 6) e por 2 fatorial (que é 2): 120 dividido por 6 e por 2, ou seja, 120 ÷ 12, igual a 10 anagramas distintos. A alternativa 120 ignora as repetições; 20, 30 e 60 dividem incompletamente. Apenas 10 anagramas resulta de descontar corretamente as letras iguais.

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