MatemáticaFunções TrigonométricasDifícil

Questão de Funções Trigonométricas — ENEM

Uma empresa de navegação fluvial monitorou a variação do nível da maré em um porto ao longo de 24 horas. O resultado foi modelado pela função h(t) = 3 sen(πt/6) + 4, em que t representa o tempo em horas após a meia-noite e h(t) é a altura da maré em metros. O gráfico adjunto exibe essa curva senoidal completa para as 24 horas, com uma linha de referência tracejada no nível de 5,5 m. Embarcações de grande porte precisam de um calado mínimo de 5,5 m para navegar com segurança. Com base no gráfico, por quantas horas por dia essas embarcações podem operar nesse porto?
A4 horas
B6 horas
C8 horas
D10 horas
E12 horas

Gabarito comentado

Para resolver desigualdades trigonométricas do tipo sen(θ) > k (com 0 < k < 1), encontra-se o intervalo onde o seno excede k em um período e multiplica-se pelo número de períodos no intervalo total. O período da função h(t) é T = 2π/(π/6) = 12 horas, e 24 horas equivalem a 2 períodos completos.

Resolução passo a passo

Para resolver h(t) > 5,5: 3 sen(πt/6) + 4 > 5,5 → sen(πt/6) > 0,5. A desigualdade sen(θ) > 1/2 tem solução θ ∈ (π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ). Substituindo θ = πt/6: πt/6 ∈ (π/6, 5π/6) → t ∈ (1, 5) no primeiro período de 12 horas. No segundo período (t de 12 a 24): t ∈ (13, 17). Cada janela dura 4 horas; como o dia tem dois períodos de 12 horas, o total é 4 + 4 = 8 horas. A alternativa 4 horas considera apenas um período; 6 horas resultaria de uma desigualdade diferente; 10 e 12 horas superam o correto. Apenas 8 horas resulta da soma das duas janelas diárias em que a maré supera 5,5 m.

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