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Questão de Análise Combinatória — ENEM

Uma prova de atletismo conta com 5 competidores disputando as três primeiras posições, que serão premiadas com ouro, prata e bronze. Após a corrida, a organização precisa registrar o número total de resultados diferentes possíveis para o pódio, em que cada posição corresponde a uma medalha distinta. De quantas maneiras diferentes o pódio pode ser composto?
A10 maneiras
B15 maneiras
C20 maneiras
D60 maneiras
E120 maneiras

Gabarito comentado

Quando a ordem dos escolhidos importa, usa-se arranjo: multiplicam-se as escolhas decrescentes a cada posição preenchida. Distinguir arranjo, em que a ordem importa, de combinação, em que a ordem não importa, é decisivo na contagem: pódios, senhas e filas são arranjos, enquanto comissões e grupos sem cargos são combinações.

Resolução passo a passo

Como a ordem das posições importa (ouro, prata e bronze são papéis diferentes), trata-se de um arranjo de 5 atletas tomados 3 a 3. Pelo princípio multiplicativo, há 5 escolhas para o ouro, 4 para a prata (sobram quatro) e 3 para o bronze, totalizando 5 vezes 4 vezes 3, igual a 60 maneiras. A alternativa 10 e 20 corresponderiam a combinações, em que a ordem não importa; 15 não corresponde; 120 seria permutar os 5 atletas. Apenas 60 maneiras conta corretamente os pódios possíveis, em que a ordem das três posições é relevante.

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