MatemáticaGeometria AnalíticaDifícil

Questão de Geometria Analítica — ENEM

A área de cobertura de um radar de controle aéreo é representada, em uma mapa com eixos em quilômetros, pela equação geral da circunferência x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0. Para configurar os limites de alerta do sistema, a equipe técnica precisa identificar o centro e o raio de cobertura do radar. O gráfico adjunto mostra a circunferência no plano cartesiano. Para encontrar o centro e o raio, é necessário completar os quadrados em x e em y e reescrever a equação na forma reduzida (x − a)² + (y − b)² = r². Quais são o centro C e o raio r da circunferência?
AC(3, −2) e r = 4 km
BC(−3, 2) e r = 4 km
CC(3, −2) e r = 16 km
DC(6, −4) e r = 4 km
EC(3, 2) e r = 4 km

Gabarito comentado

A forma geral x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se converte para a reduzida completando os quadrados: (x + D/2)² + (y + E/2)² = (D/2)² + (E/2)² − F. O centro é (−D/2, −E/2) e o raio é a raiz quadrada do lado direito. Atenção ao sinal: o coeficiente em x é −6, então D = −6 e o centro tem abscissa −D/2 = 3.

Resolução passo a passo

Completando os quadrados: (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 3 + 9 + 4, ou seja, (x − 3)² + (y + 2)² = 16. Comparando com a forma reduzida (x − a)² + (y − b)² = r², temos a = 3, b = −2 e r² = 16, portanto r = 4. O centro é C(3, −2) e o raio é 4 km. A alternativa C(−3, 2) inverte os sinais do centro; r = 16 confunde raio com r² (é preciso extrair a raiz de 16); C(6, −4) usa os coeficientes sem dividir por 2; C(3, 2) erra o sinal de y. Apenas C(3, −2) e r = 4 resultam da conclusão correta dos quadrados.

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