MatemáticaAnálise CombinatóriaDifícil

Questão de Análise Combinatória — ENEM

Uma pesquisa registrou os dados de um jantar em que 5 pessoas vão se sentar ao redor de uma mesa redonda para uma dinâmica de grupo. A equipe quer saber de quantas maneiras distintas elas podem se sentar, considerando que, em uma mesa redonda, o que importa é a posição relativa entre as pessoas: girar todos os lugares ao mesmo tempo não cria um arranjo novo. Por isso, fixa-se uma pessoa e permutam-se as demais. Considerando 5 pessoas que vão se sentar em uma mesa redonda, de quantas maneiras diferentes elas podem se acomodar ao redor da mesa?
A12 maneiras
B20 maneiras
C24 maneiras
D60 maneiras
E120 maneiras

Gabarito comentado

Na permutação circular, como girar a mesa não muda o arranjo relativo, conta-se (n menos 1) fatorial em vez de n fatorial. Fixar uma posição de referência elimina as rotações equivalentes e leva diretamente a essa fórmula.

Resolução passo a passo

Em uma permutação circular, rotações da mesma disposição são equivalentes, pois o que importa é a posição relativa. Para n pessoas em círculo, o número de arranjos é (n menos 1) fatorial. Com 5 pessoas, isso dá (5 menos 1) fatorial, ou seja, 4 fatorial, igual a 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1, que é 24. Outra forma: fixa-se uma pessoa para quebrar a rotação e permutam-se as outras 4, dando 4 fatorial igual a 24. A alternativa 120 seria a permutação em fila (5 fatorial), que conta as rotações; 12, 20 e 60 não correspondem. Apenas 24 maneiras é a permutação circular de 5 pessoas.

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