Ciências da NaturezaOndulatória (Propriedades das Ondas, Fenômenos Ondulatórios e Acústica)Difícil

Questão de Ondulatória (Propriedades das Ondas, Fenômenos Ondulatórios e Acústica) — ENEM

Em um laboratório de acústica de uma universidade pública, pesquisadores estudam as frequências naturais de vibração de uma corda esticada presa em suas duas extremidades, com comprimento total de 1,2 metro. Quando a corda é excitada na frequência correta, formam-se ondas estacionárias, padrões de vibração em que certos pontos — os nós — permanecem em repouso e outros — os ventres — oscilam com amplitude máxima. Na frequência fundamental (primeiro harmônico), toda a corda forma exatamente meio comprimento de onda, ou seja, λ₁ = 2L, em que L é o comprimento da corda. No segundo harmônico, o comprimento de onda λ₂ = L, e assim por diante: no n-ésimo harmônico, λₙ = 2L/n. A velocidade de propagação das ondas transversais na corda é de 120 metros por segundo, valor que depende da tensão e da massa linear da corda. Os pesquisadores desejam saber qual é a frequência do terceiro harmônico dessa corda. Com base nos dados do laboratório, essa frequência vale quanto?
A50 Hz
B100 Hz
C150 Hz
D200 Hz
E300 Hz

Gabarito comentado

Em uma corda fixada nas duas extremidades, apenas frequências específicas geram ondas estacionárias: as frequências harmônicas fₙ = n × v/(2L), sendo n = 1, 2, 3, ... O primeiro harmônico é a frequência fundamental; os seguintes são múltiplos inteiros dela. Esse modelo explica como instrumentos de corda como violão e piano produzem notas musicais bem definidas.

Resolução passo a passo

Para o terceiro harmônico (n = 3), o comprimento de onda é dado por λ₃ = 2L/3. Com L = 1,2 metro, obtém-se λ₃ = 2 × 1,2 / 3 = 2,4/3 = 0,8 metro. Pela equação fundamental v = λ · f, a frequência é f₃ = v / λ₃ = 120 / 0,8 = 150 hertz. A frequência fundamental seria f₁ = v/(2L) = 120/2,4 = 50 Hz, e o segundo harmônico teria f₂ = 100 Hz; o quarto harmônico seria 200 Hz. A opção 50 Hz corresponde ao primeiro harmônico (fundamental), não ao terceiro. A opção 100 Hz é o segundo harmônico. A opção 200 Hz é o quarto harmônico. A opção 300 Hz seria o sexto harmônico (n = 6), pois 6 × 50 = 300. Apenas 150 Hz, que é 3 × 50 Hz, corresponde ao terceiro harmônico, obtido diretamente pela relação fₙ = n × f₁ ou pelo cálculo λₙ = 2L/n seguido de f = v/λ.

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