Questão de Trigonometria no Triângulo Retângulo — ENEM
Uma equipe de topografia precisa determinar a distância AC entre dois marcos do terreno sem acesso direto. No triângulo formado pelos pontos A, B e C, a equipe mediu com teodolito os ângulos internos: ângulo A = 30°, ângulo B = 45° e, portanto, ângulo C = 105°. O lado BC (oposto ao ângulo A) foi medido diretamente como a = 6 km. O esboço adjunto exibe o triângulo com esses dados. Usando a Lei dos Senos — a/sen(A) = b/sen(B) —, com sen(30°) = 1/2 e sen(45°) = √2/2, qual é a distância b = AC?
Gabarito comentado
A Lei dos Senos estabelece que em qualquer triângulo a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante: a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C). Para encontrar um lado desconhecido, isola-se na proporção usando o lado e o ângulo opostos conhecidos. Útil em triangulação topográfica quando não há ângulo reto.
Resolução passo a passo
Pela Lei dos Senos: b/sen(B) = a/sen(A). Substituindo os valores conhecidos: b/(√2/2) = 6/(1/2). O segundo membro é 6 ÷ (1/2) = 12. Portanto, b = 12 × (√2/2) = 12√2/2 = 6√2 km. Numericamente, 6√2 ≈ 8,49 km. A alternativa 3 km seria metade de a; 6√3 resultaria de confundir sen(60°) com sen(45°); 8 é uma aproximação de 6√2 mas não a forma exata; 12 é a razão a/sen(A), não o lado b. Apenas 6√2 km resulta de multiplicar 12 por sen(45°) = √2/2.