Questão de Funções Trigonométricas — ENEM
A variação de temperatura ao longo de um dia em uma cidade litorânea é modelada pela função T(t) = −8 cos(πt/12) + 22, em que t é o tempo em horas a partir da meia-noite e T(t) é a temperatura em graus Celsius. O gráfico adjunto exibe a curva de temperatura nas 24 horas do dia, com os valores máximo (30 °C) e mínimo (14 °C) indicados. Uma linha de referência tracejada marca 26 °C. Considerando que as praias daquela cidade são consideradas confortáveis apenas quando a temperatura supera 26 °C, por quantas horas por dia essa condição é satisfeita?
A4 horas
B6 horas
D10 horas
E12 horas
Gabarito comentado
Para resolver cos(θ) < −k (com 0 < k < 1), encontra-se o intervalo onde o cosseno é menor que −k, que ocorre entre os ângulos obtusos simétricos em relação a π. Para cos(θ) < −1/2: θ ∈ (2π/3, 4π/3), que tem comprimento 2π/3, correspondendo a um terço do ciclo. Como o período é 24h, a janela dura 24 × (1/3) = 8 horas.
Resolução passo a passo
Resolve-se T(t) > 26: −8 cos(πt/12) + 22 > 26 → −8 cos(πt/12) > 4 → cos(πt/12) < −1/2. A desigualdade cos(θ) < −1/2 tem solução θ ∈ (2π/3, 4π/3). Substituindo θ = πt/12: πt/12 ∈ (2π/3, 4π/3) → t ∈ (8, 16). O intervalo tem duração 16 − 8 = 8 horas, correspondendo ao período das 8h às 16h. Como o período é 24h, há apenas uma janela diária. A alternativa 4 horas seria metade do intervalo; 6 resultaria de uma inequação diferente; 10 e 12 excedem o período de conforto. Apenas 8 horas é o total de horas com T > 26 °C.