MatemáticaGeometria AnalíticaDifícil

Questão de Geometria Analítica — ENEM

Uma empresa de telecomunicações precisa instalar um repetidor de sinal exatamente no ponto equidistante das duas antenas transmissoras já instaladas na região. Num mapa digital, com eixos em quilômetros, a antena A está posicionada em (1, 3) e a antena B em (5, 7). A equipe técnica deve determinar a equação da mediatriz do segmento AB — a reta formada por todos os pontos equidistantes de A e B —, pois o repetidor deverá ser instalado sobre essa reta para garantir cobertura simétrica. O gráfico adjunto exibe as posições de A, B e o ponto médio M do segmento. Qual é a equação da mediatriz do segmento AB?
Ay = x − 8
By = −x + 8
Cy = x + 8
Dy = −x − 8
Ey = x + 2

Gabarito comentado

A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a ele passando pelo seu ponto médio. Para construí-la: (1) calcule o ponto médio; (2) calcule a inclinação do segmento; (3) obtenha a inclinação perpendicular (negativa recíproca); (4) aplique a equação da reta ponto-inclinação. Essa construção aparece em circuncentros de triângulos, equações de circunferências e problemas de otimização de localização de instalações.

Resolução passo a passo

A mediatriz do segmento AB precisa de dois elementos: o ponto médio M e a inclinação perpendicular à direção de AB. O ponto médio é M = ((1+5)/2, (3+7)/2) = (3, 5). A inclinação de AB é (7−3)/(5−1) = 1. A mediatriz é perpendicular a AB, portanto sua inclinação é −1 (produto das inclinações igual a −1). Usando M(3, 5) e inclinação −1: y − 5 = −1×(x − 3), que resulta em y = −x + 8. A alternativa y = x − 8 tem inclinação errada (+1, paralela a AB); y = x + 8 também tem inclinação +1; y = −x − 8 tem inclinação correta mas coeficiente linear errado; y = x + 2 não é perpendicular nem passa pelo ponto médio. Apenas y = −x + 8 satisfaz ambas as condições: passa por M(3, 5) e é perpendicular a AB.

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