MatemáticaGeometria AnalíticaDifícil

Questão de Geometria Analítica — ENEM

Em um mapa digital com eixos em quilômetros, uma rodovia é representada pela reta de equação 3x − 4y + 5 = 0. Uma residência está localizada no ponto P(4, 7). A prefeitura precisa saber a menor distância entre a residência e a rodovia para planejar o acesso viário, pois a distância mínima de um ponto a uma reta corresponde ao segmento perpendicular que une o ponto à reta. O gráfico adjunto mostra a reta, o ponto P e o segmento de menor distância. A fórmula da distância de um ponto (x₀, y₀) à reta ax + by + c = 0 é d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Qual é a menor distância entre P e a rodovia?
A1,6 km
B2,0 km
C2,2 km
D2,5 km
E3,0 km

Gabarito comentado

A fórmula da distância de um ponto (x₀, y₀) à reta ax + by + c = 0 é d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). O denominador normaliza o vetor normal à reta. O valor absoluto no numerador garante a positividade da distância, independentemente de qual lado da reta o ponto está.

Resolução passo a passo

Aplicando a fórmula com a = 3, b = −4, c = 5 e o ponto P(4, 7): d = |3×4 + (−4)×7 + 5| / √(3² + (−4)²) = |12 − 28 + 5| / √(9 + 16) = |−11| / √25 = 11/5 = 2,2 km. A alternativa 1,6 = 8/5 resultaria de |12 − 20 + 5| = 3; 2,0 = 10/5 usaria numerador 10; 2,5 = 12,5/5 erraria o cálculo no numerador; 3,0 = 15/5 somaria em vez de subtrair. Apenas 2,2 km resulta de |12 − 28 + 5|/5 = 11/5.

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