MatemáticaFunção Quadrática (2º Grau)Médio

Questão de Função Quadrática (2º Grau) — ENEM

Um projeto registrou os dados de um cercado retangular que será montado com exatamente 20 metros de tela, e a equipe quer que a área cercada seja a maior possível. Sendo x a medida de um dos lados, o lado vizinho mede 10 menos x, pois a soma de dois lados consecutivos é a metade do perímetro. A área em função de x é x vezes (10 menos x), uma função do segundo grau com concavidade para baixo, que possui um valor máximo. Considerando essa modelagem, qual é a área máxima, em metros quadrados, que pode ser cercada com os 20 metros de tela?
A16 m²
B20 m²
C25 m²
D30 m²
E100 m²

Gabarito comentado

Em problemas de otimização com perímetro fixo, a área é uma função quadrática com máximo no vértice. Para um retângulo, a maior área ocorre quando ele é um quadrado. Modelar a área em função de um lado e achar o vértice resolve esse clássico.

Resolução passo a passo

A área é A de x igual a x vezes (10 menos x), ou seja, menos x ao quadrado mais 10 x, uma parábola com concavidade para baixo. O máximo ocorre no vértice, cuja abscissa é menos b sobre 2a: com a igual a menos 1 e b igual a 10, é menos 10 sobre menos 2, igual a 5. Logo, um lado mede 5 e o outro 10 − 5 = 5, formando um quadrado. A área máxima é 5 vezes 5 = 25 metros quadrados. A alternativa 100 m² ignora a restrição de tela; 16, 20 e 30 m² correspondem a retângulos não ótimos. Apenas 25 m² é a área máxima cercável com 20 metros de tela.

Quer mais questões de Função Quadrática (2º Grau)?

Monte um simulado focado neste subtema e acompanhe sua evolução.

Fazer simulado de MatemáticaTodas as áreas