MatemáticaAnálise CombinatóriaDifícil

Questão de Análise Combinatória — ENEM

Um professor precisa formar uma equipe de 4 alunos entre 8 voluntários de um projeto escolar: 5 meninas (M₁ a M₅) e 3 meninos (H₁ a H₃). Por orientação da coordenação, a equipe deve ter pelo menos 2 meninas, para garantir representatividade de gênero. O diagrama adjunto ilustra os dois grupos de voluntários disponíveis. Para determinar o total de equipes que atendem à exigência, é necessário considerar os sub-casos em que há exatamente 2, 3 ou 4 meninas, somando os resultados pelo princípio da adição. Quantas equipes diferentes podem ser formadas respeitando essa condição?
A40
B55
C60
D65
E70

Gabarito comentado

Em problemas com 'pelo menos', há duas estratégias: (1) somar os sub-casos válidos diretamente; (2) usar o complementar — total geral menos os inválidos. Ambas levam ao mesmo resultado. O complementar costuma ser mais rápido quando há poucos sub-casos inválidos, como aqui (apenas 5 equipes com exatamente 1 menina e nenhuma com 0 meninas).

Resolução passo a passo

Há três sub-casos mutuamente exclusivos. Exatamente 2 meninas e 2 meninos: C(5,2) × C(3,2) = 10 × 3 = 30. Exatamente 3 meninas e 1 menino: C(5,3) × C(3,1) = 10 × 3 = 30. Exatamente 4 meninas e 0 meninos: C(5,4) × C(3,0) = 5 × 1 = 5. Total: 30 + 30 + 5 = 65. Pelo complementar: o total sem restrição é C(8,4) = 70; as equipes com menos de 2 meninas são as de 1 menina (C(5,1)×C(3,3) = 5) e de 0 meninas (impossível com apenas 3 meninos numa equipe de 4); total de inválidas = 5; válidas = 70 − 5 = 65. A alternativa 60 esquece o sub-caso de 4 meninas (30+30=60); 70 ignora a restrição; 40 e 55 não correspondem a nenhum cálculo correto. Apenas 65 é o total correto.

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