MatemáticaGeometria EspacialDifícil

Questão de Geometria Espacial — ENEM

Uma fábrica de embalagens produz recipientes compostos: um cilindro externo e um cone interno oco, ambos com a mesma base circular de raio 3 cm e a mesma altura de 8 cm. O cone é preenchido com material especial e o espaço entre o cilindro e o cone é preenchido com espuma protetora. O corte transversal adjunto mostra as duas formas sobrepostas. A engenheira responsável pelo custo de produção precisa conhecer a razão entre o volume ocupado pelo material especial (cone) e o volume ocupado pela espuma (diferença entre cilindro e cone), para negociar insumos com os fornecedores. Qual é essa razão?
A1/4
B1/3
C1/2
D2/3
E3/4

Gabarito comentado

O volume do cone inscrito num cilindro de mesma base e altura é sempre exatamente 1/3 do volume do cilindro. Portanto, a espuma ocupa os 2/3 restantes. A razão cone:espuma é sempre 1/3 ÷ 2/3 = 1/2, independentemente do raio e da altura — desde que cone e cilindro tenham as mesmas dimensões de base e altura.

Resolução passo a passo

O volume do cilindro é V_cil = π × r² × h = π × 9 × 8 = 72π cm³. O volume do cone é V_cone = (1/3) × π × r² × h = (1/3) × 72π = 24π cm³. O volume da espuma, diferença entre os dois sólidos, é V_espuma = 72π − 24π = 48π cm³. A razão entre o material especial e a espuma é 24π ÷ 48π = 1/2. Uma forma alternativa: o cone sempre ocupa 1/3 do cilindro de mesma base e altura, restando 2/3 para a espuma; a razão entre 1/3 e 2/3 é 1/2. A alternativa 1/3 seria a razão do cone em relação ao cilindro inteiro, não à espuma; 2/3 seria o complementar; 1/4 e 3/4 não resultam do cálculo correto. Apenas 1/2 é a razão entre cone e espuma.

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