MatemáticaGeometria AnalíticaDifícil

Questão de Geometria Analítica — ENEM

Um escritório de arquitetura recebeu a planta de um lote triangular urbano para avaliação imobiliária. No mapa, com eixos em metros, o lote é delimitado por três ruas representadas pelas equações r₁: y = x + 2, r₂: y = −x + 8 e r₃: y = 2. O gráfico adjunto exibe as três retas e o triângulo formado pelos cruzamentos. Para calcular o valor do terreno com base no preço por metro quadrado praticado na região, o arquiteto precisa da área exata do lote. Qual é a área do lote triangular, em metros quadrados?
A6 m²
B7,5 m²
C9 m²
D12 m²
E15 m²

Gabarito comentado

Para calcular a área de um triângulo definido por equações de retas, o método mais direto é: (1) encontrar os três vértices resolvendo os pares de equações; (2) identificar uma base horizontal ou vertical para simplificar o cálculo da altura; (3) aplicar A = (1/2) × base × altura. Quando nenhum lado é horizontal ou vertical, usa-se a fórmula de Gauss com as coordenadas.

Resolução passo a passo

Encontram-se os três vértices do triângulo pelas interseções das retas. r₁ ∩ r₂: x+2 = −x+8 → x=3, y=5 → A(3,5). r₁ ∩ r₃: x+2=2 → x=0, y=2 → B(0,2). r₂ ∩ r₃: −x+8=2 → x=6, y=2 → C(6,2). A base BC está sobre y=2, com comprimento BC = 6−0 = 6 m. A altura relativa a essa base é a distância do vértice A(3,5) à reta y=2, igual a 5−2 = 3 m. Área = (1/2) × 6 × 3 = 9 m². A alternativa 6 usaria altura 2 em vez de 3; 7,5 resultaria de (1/2)×5×3 ou (1/2)×6×2,5; 12 de (1/2)×6×4; 15 de (1/2)×6×5. Apenas 9 m² é a área correta do triângulo.

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