Questão de Análise Combinatória — ENEM
Em uma atividade de matemática e linguagem, a turma estudou os anagramas da palavra ESCOLA, composta de 6 letras: as consoantes S, C e L e as vogais E, O e A. A condição estabelecida é que os três anagramas válidos para essa atividade são apenas aquelas sequências em que as três vogais aparecem sempre juntas, em qualquer posição e em qualquer ordem interna. Para resolver, os alunos aprenderam a técnica do bloco: as três vogais são agrupadas num único bloco, o que reduz o problema a permutar 4 elementos (o bloco e as 3 consoantes), e depois permutar internamente as vogais dentro do bloco. O diagrama adjunto ilustra essa técnica. Quantos anagramas de ESCOLA possuem as três vogais sempre juntas?
Gabarito comentado
A técnica do bloco é usada quando elementos devem permanecer juntos: agrupa-se o conjunto como uma unidade, permutam-se as unidades (bloco + demais) e multiplica-se pelas permutações internas do bloco. Isso reduz o problema a duas permutações independentes, combinadas pelo princípio multiplicativo.
Resolução passo a passo
Usando a técnica do bloco: as vogais E, O e A são tratadas como um bloco único [EOA]. Agora há 4 elementos a permutar: [EOA], S, C e L. O número de permutações de 4 elementos é 4! = 24. Dentro do bloco, as 3 vogais podem se arranjar em 3! = 6 ordens diferentes. Pelo princípio multiplicativo, o total é 4! × 3! = 24 × 6 = 144. A alternativa 72 = 4! × 3 usa apenas metade das ordens internas; 108 = 4! × 4,5 não corresponde a nenhuma fórmula; 180 = 5! × 1,5 superdimensiona; 216 = 6³ não aplica o método correto. Apenas 144 resulta de 24 × 6.