MatemáticaFunção Quadrática (2º Grau)Difícil

Questão de Função Quadrática (2º Grau) — ENEM

Uma indústria manufatura um produto cujo lucro mensal L (em R$ mil) é modelado pela função L(x) = −2x² + 60x − 200, onde x representa a quantidade produzida em milhares de unidades. O gráfico adjunto exibe a parábola dessa função, com o vértice e a linha de referência L = 200 (mil reais) destacados. A diretoria estabeleceu que apenas produções com lucro acima de R$ 200 mil mensais são financeiramente viáveis. O gestor financeiro precisa determinar o intervalo de produção (em milhares de unidades) que garante essa viabilidade. Para qual intervalo de x o lucro supera R$ 200 mil?
A5 < x < 25
B8 < x < 22
C10 < x < 20
D12 < x < 18
E0 < x < 15

Gabarito comentado

Inequações quadráticas do tipo ax² + bx + c > 0 exigem: (1) calcular as raízes pelo discriminante; (2) analisar o sinal da parábola entre e fora das raízes — se a > 0, a parábola é negativa entre as raízes e positiva fora. Aqui transformamos L(x) > 200 em uma inequação com parábola de concavidade positiva, obtendo a solução entre as raízes 10 e 20.

Resolução passo a passo

Resolve-se a inequação L(x) > 200: −2x² + 60x − 200 > 200 → −2x² + 60x − 400 > 0 → x² − 30x + 200 < 0. O discriminante é Δ = 900 − 800 = 100; as raízes são x = (30 ± 10)/2, ou seja, x₁ = 10 e x₂ = 20. Como a parábola x² − 30x + 200 tem concavidade positiva (a=1>0), ela é negativa entre as raízes: 10 < x < 20. A alternativa 5 < x < 25 usa raízes incorretas; 8 < x < 22 não resulta do discriminante correto; 12 < x < 18 é um intervalo mais restrito; 0 < x < 15 considera apenas metade do intervalo. Apenas 10 < x < 20 satisfaz L(x) > 200.

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