Questão de Progressões Aritméticas e Geométricas (PA e PG) — ENEM
Um artista plástico criou uma instalação em que quadrados concêntricos são desenhados em sequência, cada um com lado igual a 2/3 do lado do anterior. O primeiro quadrado tem lado de 18 cm. A área de cada quadrado forma uma Progressão Geométrica de razão 4/9. Para calcular o espaço total que seria ocupado se todos os quadrados fossem sobrepostos sem limite, o artista precisa da soma dos termos de uma PG de razão menor que 1 em valor absoluto, que converge para um valor finito. O gráfico adjunto ilustra a progressão. Considerando a soma do primeiro termo a₁ = 18 com razão q = 2/3, qual é a soma de todos os termos da progressão geométrica?
Gabarito comentado
A soma de uma PG infinita convergente (|q| < 1) é S = a₁/(1 − q). Para q < 0 ou 0 < q < 1, os termos tendem a zero e a soma é finita. Quando q ≥ 1 ou q ≤ −1, a soma diverge. Aqui, q = 2/3 ∈ (0, 1), garantindo convergência. Dividir pelo complementar (1 − q) e não por q é o erro mais comum.
Resolução passo a passo
A fórmula da soma de uma PG infinita com |q| < 1 é S = a₁/(1 − q). Com a₁ = 18 e q = 2/3: S = 18/(1 − 2/3) = 18/(1/3) = 18 × 3 = 54. Intuitivamente, cada novo termo é 2/3 do anterior, de modo que a soma cresce cada vez menos e se estabiliza em 54. A alternativa 27 resultaria de S = 18/(2/3) (divisão pelo complementar errado); 36 = 18 × 2; 48 e 72 não correspondem. Apenas 54 resulta da divisão correta de 18 por (1 − 2/3) = 1/3.