Questão de Trigonometria no Triângulo Retângulo — ENEM
Uma equipe de topografia precisa medir a distância direta entre dois marcos A e B sem acesso ao caminho entre eles. Partindo do ponto T, um topógrafo percorreu 5 km até o marco A e, por outro caminho, 3 km até o marco B. O ângulo ATB medido com teodolito foi de 120°, conforme o esboço adjunto. Usando a Lei dos Cossenos — c² = a² + b² − 2ab·cos(C) — e sabendo que cos(120°) = −1/2, qual é a distância direta AB entre os marcos?
Gabarito comentado
A Lei dos Cossenos generaliza o Teorema de Pitágoras para triângulos quaisquer: quando C = 90°, cos(C) = 0 e a fórmula se reduz a c² = a² + b². Para ângulos obtusos (como 120°), cos(C) é negativo, tornando o lado oposto maior do que seria se o ângulo fosse reto — o triângulo 'abre' mais. Verificar o sinal de cos(C) é o passo crítico.
Resolução passo a passo
Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ATB com TA = 5 km, TB = 3 km e ângulo T = 120°: AB² = TA² + TB² − 2 × TA × TB × cos(120°) = 25 + 9 − 2 × 5 × 3 × (−1/2) = 34 − (−15) = 34 + 15 = 49. Portanto AB = √49 = 7 km. A alternativa 6 resultaria de AB² = 36 (erro de sinal no cosseno); 5 km é o comprimento de TA; 4 viria de AB² = 16; 8 km superestima. O sinal negativo de cos(120°) torna o termo −2ab·cos(C) positivo, aumentando a hipotenusa. Apenas 7 km é a distância correta.