Questão de Função Quadrática (2º Grau) — ENEM
Em um exercício de física e matemática, a trajetória de uma bola chutada é modelada pela função y(x) = −x²/20 + 2x, em que x é a distância horizontal em metros percorrida pela bola e y(x) é a altura em metros. O gráfico adjunto exibe a parábola da trajetória, com o ponto de decolagem na origem, o vértice (ponto de altura máxima) destacado e o ponto de queda indicado no eixo x. Para determinar a distância horizontal no ponto de altura máxima e a própria altura máxima, o físico precisa encontrar o vértice da parábola. Qual é a distância horizontal ao ponto de altura máxima e qual é essa altura?
Ax = 10 m e y_máx = 15 m
Bx = 15 m e y_máx = 20 m
Dx = 20 m e y_máx = 25 m
Ex = 25 m e y_máx = 20 m
Gabarito comentado
O vértice de uma parábola y = ax² + bx + c ocorre em x_v = −b/(2a), e a ordenada do vértice é y_v = y(x_v). Para a = −1/20 e b = 2: x_v = 20 e y_v = 20. Note que as raízes da função são x = 0 (decolagem) e x = 40 m (queda), confirmando que o vértice fica exatamente no meio: x_v = 20.
Resolução passo a passo
A função y(x) = −x²/20 + 2x tem a = −1/20 e b = 2. A abscissa do vértice é x_v = −b/(2a) = −2/(2 × (−1/20)) = −2/(−1/10) = 20 m. A altura máxima é y(20) = −(20)²/20 + 2×20 = −400/20 + 40 = −20 + 40 = 20 m. A alternativa x = 10 daria y(10) = −100/20 + 20 = −5 + 20 = 15 m (não é o vértice); x = 15 daria y(15) = −225/20 + 30 = −11,25 + 30 = 18,75 m; x = 20 com y = 25 erra o cálculo; x = 25 daria y(25) = −625/20 + 50 = 18,75 m. Apenas x = 20 m e y_máx = 20 m correspondem ao vértice correto.